Formula x1, x2 pentru ecuația de gradul 2 este x1,2 = (−b ± √Δ) / (2a), unde Δ = b² − 4ac. Calculezi mai întâi delta, apoi afli soluțiile în funcție de semnul ei: două soluții reale, una dublă sau nicio soluție reală. Mai jos găsești și un calculator în care introduci coeficienții a, b și c pentru a obține automat discriminantul și rădăcinile.
Nu trebuie să memorezi multe reguli separate. Dacă înțelegi ce reprezintă coeficienții și cum funcționează formula, poți rezolva majoritatea exercițiilor obișnuite de clasa a VIII-a și a IX-a.
Răspunsul scurt
O ecuație de gradul al doilea are forma ax² + bx + c = 0, unde a, b și c sunt numere reale, iar a ≠ 0. Numărul soluțiilor reale depinde de discriminantul delta, notat Δ. Formula generală se aplică după ce ai identificat corect coeficienții, inclusiv semnele lor.
| Semnul lui Δ | Câte soluții reale există | Formula |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Două soluții reale distincte | x1 = (−b + √Δ) / (2a); x2 = (−b − √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | O soluție reală dublă | x1 = x2 = −b / (2a) |
| Δ < 0 | Nicio soluție reală | În numere complexe: x1,2 = (−b ± i√(−Δ)) / (2a) |
Cele două formule pe care trebuie să le reții sunt:
- Discriminantul: Δ = b² − 4ac.
- Rădăcinile: x1,2 = (−b ± √Δ) / (2a), când Δ ≥ 0 și lucrăm cu numere reale.
Semnul ± înseamnă că faci două calcule: unul cu plus și unul cu minus. Ordinea în care le numești x1 și x2 nu schimbă rezultatul ecuației.
Cum folosești calculatorul x1, x2
Calculatorul de deasupra acestei secțiuni rezolvă ecuația folosind cei trei coeficienți. Completezi valorile a, b și c exact cum apar în forma ax² + bx + c = 0.
De exemplu, pentru x² − 5x + 6 = 0, introduci a = 1, b = −5 și c = 6. Calculatorul determină Δ = 1 și rădăcinile x1 = 3, x2 = 2.
Pentru 2x² − 3x − 2 = 0, introduci a = 2, b = −3 și c = −2. Rezultatul este Δ = 25, x1 = 2 și x2 = −0,5.
Nu introduce a = 0 dacă vrei să rezolvi o ecuație de gradul al doilea. În acel caz, termenul cu x² dispare, iar problema trebuie tratată separat.
Calculatorul este util pentru verificare, dar la școală trebuie să poți arăta și pașii: identificarea coeficienților, calculul lui delta și aplicarea formulei.
Ce sunt a, b și c într-o ecuație de gradul 2?
Forma generală este:
ax² + bx + c = 0
Fiecare literă are un rol:
- a este coeficientul lui x² și trebuie să fie diferit de zero.
- b este coeficientul lui x, inclusiv semnul din fața lui.
- c este termenul liber, adică numărul fără x.
Pentru ecuația 3x² − 7x + 2 = 0 avem a = 3, b = −7 și c = 2.
Dacă un coeficient nu apare explicit, valoarea lui poate fi 1, −1 sau 0. De exemplu, în x² + 4x = 0 avem a = 1, b = 4 și c = 0. În −x² + 9 = 0 avem a = −1, b = 0 și c = 9.
Cel mai important este să scrii coeficienții înainte de a calcula delta. Astfel eviți multe greșeli de semn.
Cum rezolvi ecuația de gradul 2, pas cu pas
Pentru orice ecuație de forma ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0, urmezi aceeași metodă.
- Aduci toate termenele în partea stângă, astfel încât în dreapta să rămână zero.
- Identifici a, b și c.
- Calculezi Δ = b² − 4ac.
- Verifici dacă Δ este pozitiv, zero sau negativ.
- Aplici formula corespunzătoare.
- Verifici rădăcinile prin înlocuire sau folosind relațiile lui Viète.
Nu sări peste pasul în care identifici semnul lui delta. Acesta îți spune dacă formula va produce două rădăcini reale, una dublă sau nicio rădăcină reală.
Exemplul 1: două soluții reale distincte
Rezolvăm ecuația:
x² − 5x + 6 = 0
Coeficienții sunt a = 1, b = −5 și c = 6.
Calculăm discriminantul:
Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
Delta este pozitivă, deci avem două rădăcini reale distincte.
Prima rădăcină:
x1 = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
A doua rădăcină:
x2 = (5 − √1) / 2 = (5 − 1) / 2 = 2
Rezultatul este x1 = 3, x2 = 2.
Verificăm cu relațiile lui Viète: 3 + 2 = 5, exact cât −b/a, iar 3 × 2 = 6, exact cât c/a. Ambele condiții sunt îndeplinite.
Exemplul 2: delta este zero
Rezolvăm:
x² + 2x + 1 = 0
Coeficienții sunt a = 1, b = 2 și c = 1.
Δ = 2² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0
Când delta este zero, radicalul este zero, așa că formula cu plus și cea cu minus dau același rezultat.
x1 = x2 = −2 / 2 = −1
Spunem că −1 este o rădăcină dublă. Ecuația se poate scrie și (x + 1)² = 0.
Atenție: nu sunt două valori diferite. Mulțimea soluțiilor reale conține un singur număr, −1.
Exemplul 3: delta este negativă
Rezolvăm:
x² + x + 1 = 0
Coeficienții sunt a = 1, b = 1 și c = 1.
Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3
Deoarece Δ = −3, ecuația nu are soluții reale. Dacă exercițiul cere rezolvarea în mulțimea numerelor reale, aici te oprești.
În liceu, când se lucrează cu numere complexe, rezultatul poate fi exprimat astfel:
x1 = −0,5 + (√3 / 2)i ≈ −0,5 + 0,866i
x2 = −0,5 − (√3 / 2)i ≈ −0,5 − 0,866i
Litera i reprezintă unitatea imaginară, pentru care i² = −1. Valorile zecimale sunt aproximative, deoarece √3 / 2 ≈ 0,866.
Este important să spui „nu are soluții reale”, nu pur și simplu „nu are soluții”.
Exemplul 4: coeficientul a este diferit de 1
Rezolvăm:
2x² − 3x − 2 = 0
Avem a = 2, b = −3 și c = −2.
Calculăm delta:
Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
Aici numitorul formulei este 2a = 4, nu 2.
x1 = (3 + √25) / 4 = (3 + 5) / 4 = 2
x2 = (3 − √25) / 4 = (3 − 5) / 4 = −0,5
Rădăcinile sunt x1 = 2 și x2 = −0,5.
Verificare rapidă: suma este 1,5, egală cu −b/a = 3/2, iar produsul este −1, egal cu c/a = −2/2.
De unde vine formula x1, x2?
Formula nu este o regulă inventată fără explicație. Ea rezultă dintr-o metodă numită completarea pătratului.
Pornim de la ax² + bx + c = 0 și împărțim întreaga ecuație la a, posibil deoarece a ≠ 0.
Obținem x² + (b/a)x = −c/a.
Adăugăm în ambele părți termenul b²/(4a²), astfel încât partea stângă să devină un pătrat perfect:
(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)
Expresia b² − 4ac este tocmai discriminantul Δ. Extragem rădăcina pătrată și izolăm x, obținând formula x = (−b ± √Δ)/(2a), pentru soluțiile reale când Δ ≥ 0.
Aceasta explică de ce apar simultan radicalul, semnul ± și numitorul 2a.
Cazuri speciale: când b = 0 sau c = 0
Nu este obligatoriu să folosești de fiecare dată discriminantul. Unele ecuații se rezolvă mai rapid.
Dacă b = 0, ecuația devine ax² + c = 0. Izolăm pătratul: x² = −c/a. Dacă −c/a este pozitiv, soluțiile sunt x = ±√(−c/a). Dacă este zero, avem rădăcina dublă x = 0; dacă este negativ, nu există soluții reale.
Dacă c = 0, ecuația devine ax² + bx = 0. Scoatem x factor comun: x(ax + b) = 0. Soluțiile sunt x1 = 0 și x2 = −b/a. Dacă și b = 0, ambele coincid în zero.
Aceste scurtături sunt utile la exercițiile simple și reduc riscul greșelilor de calcul.
Relațiile lui Viète și forma descompusă
După ce ai găsit rădăcinile, le poți verifica folosind relațiile lui Viète:
- x1 + x2 = −b/a
- x1 · x2 = c/a
Pentru x² − 5x + 6 = 0, soluțiile sunt 3 și 2. Suma lor este 5, iar produsul este 6, exact cum cer coeficienții.
Când rădăcinile sunt reale, ecuația poate fi și descompusă în factori:
ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Prin urmare, x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Dacă unul dintre factori este zero, întreaga expresie devine zero.
Această metodă leagă ecuațiile de operațiile algebrice și te ajută să verifici soluțiile fără să refaci delta.
Greșeli frecvente la calculul rădăcinilor
- Uiți semnul lui b. Pentru x² − 5x + 6 = 0, b este −5, iar −b devine +5.
- Calculezi greșit pătratul unui număr negativ. (−5)² = 25, nu −25.
- Împarți doar radicalul la 2a. Întregul numărător, adică −b ± √Δ, trebuie împărțit la 2a.
- Presupui că a este întotdeauna 1. În exemplul 2x² − 3x − 2 = 0, numitorul este 4.
- Spui că delta negativă înseamnă lipsa oricărei soluții. Corect este că nu există soluții reale.
- Folosești formula când a = 0. Ecuația nu mai este de gradul al doilea.
O verificare prin înlocuirea rădăcinilor în ecuația inițială este cea mai sigură metodă de a descoperi o greșeală aritmetică.
Același obicei de a identifica datele și de a izola necunoscuta este util și în alte calcule. Poți exersa cu formula vitezei sau cu formula densității și conversiile de unități.
Întrebări frecvente
Care este formula pentru x1 și x2?
Formula este x1 = (−b + √Δ)/(2a) și x2 = (−b − √Δ)/(2a), unde Δ = b² − 4ac. În numere reale, aceasta se folosește când delta este pozitivă sau zero.
Ce înseamnă dacă delta este zero?
Ecuația are o singură soluție reală, numită rădăcină dublă. Cele două expresii x1 și x2 dau aceeași valoare: −b/(2a).
Ce fac dacă delta este negativă?
Dacă rezolvi ecuația în numere reale, răspunsul este că nu există soluții reale. Dacă problema cere soluții complexe, folosești unitatea imaginară i și radicalul din −Δ.
Cum verific dacă am calculat bine x1 și x2?
Înlocuiești fiecare rădăcină în ecuația inițială și verifici dacă rezultatul este zero. Mai poți compara suma și produsul rădăcinilor cu relațiile lui Viète.
Pot afla rădăcinile fără să calculez delta?
Da, uneori. Dacă c = 0, scoți x factor comun. Dacă b = 0, izolezi x². Pentru unele ecuații poți recunoaște direct un pătrat perfect sau o descompunere în factori.
Care este diferența dintre ecuația de gradul 1 și cea de gradul 2?
Ecuația de gradul întâi are necunoscuta la puterea întâi și nu conține termenul x² cu coeficient nenul. Ecuația de gradul al doilea conține ax², cu a ≠ 0, și poate avea două rădăcini reale distincte, una dublă sau nicio rădăcină reală.
Pe scurt
- Forma generală este ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0.
- Discriminantul este Δ = b² − 4ac.
- Dacă Δ > 0, ai două soluții reale distincte.
- Dacă Δ = 0, ai o rădăcină reală dublă.
- Dacă Δ < 0, nu există soluții reale.
- Formula este x1,2 = (−b ± √Δ)/(2a).
- Verifică rezultatele cu relațiile lui Viète sau prin înlocuire.
- Pentru exercițiile simple, descompunerea în factori poate fi mai rapidă.
